A integração por partes é uma técnica fundamental no cálculo integral que permite resolver integrais de produtos de funções. É especialmente útil quando as técnicas de substituição simples não são suficientes.
O que é Integração por Partes?
A técnica de integração por partes deriva da regra do produto para diferenciação. Se u(x) e v(x) são funções deriváveis, então a regra do produto nos diz que:
d/dx [u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)
Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos:
∫ d/dx [u(x)v(x)] dx = ∫ u'(x)v(x) dx + ∫ u(x)v'(x) dx
u(x)v(x) = ∫ u'(x)v(x) dx + ∫ u(x)v'(x) dx
Rearranjando, chegamos à fórmula da integração por partes:
∫ u dv = uv - ∫ v du
onde:
Como Aplicar a Integração por Partes:
Escolha u e dv: A escolha de u e dv é crucial. Uma boa escolha simplificará a integral ∫ v du. Geralmente, usa-se a regra do LIATE para ajudar a escolher u:
A função que aparece primeiro na lista LIATE geralmente é escolhida como u.
Calcule du e v: Derive u para obter du e integre dv para obter v. Lembre-se de incluir a constante de integração ao calcular v, embora ela geralmente seja omitida neste passo, pois simplifica os cálculos.
Aplique a Fórmula: Substitua u, v, du e dv na fórmula ∫ u dv = uv - ∫ v du.
Avalie a Nova Integral: Se a integral ∫ v du for mais fácil de resolver do que a integral original, você fez uma boa escolha. Resolva a nova integral.
Some os Termos: Combine os termos para obter o resultado final.
Exemplo:
Calcular ∫ x cos(x) dx
Portanto, ∫ x cos(x) dx = x sin(x) + cos(x) + C
Aplicações:
A integração por partes é utilizada em diversas áreas, incluindo:
Tópicos Importantes:
A integração por partes é uma ferramenta poderosa para resolver uma ampla gama de integrais. Com a prática e a compreensão dos conceitos chave, você poderá dominar essa técnica e aplicá-la com sucesso em diversas situações.
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